محاسبات بالاتر به منظور مشتق

برای محاسبه بالاتری از مشتق تابع f، ما از نحوه اجرا در متلب (diff(f,n استفاده می کنیم.

به ما اجازه دهید مشتق دوم از تابع y=f(x)=x.e-3x بگیریم.

f = x*exp(-3*x);

diff(f,2)

متلب کد را اجرا خواهد کرد و نتیجه زیر را برمی گرداند:

معادله octave زیر معادل محاسبات بالا است:

pkg load symbolic

symbols

x = sym(“x”):

f = x*exp(-3*x);

differentiate(f, x,2)

مثال

در مثال زیر، ما یک مسئله را حل می کنیم. تابع (y=f(x)=3sin(x)+7cos(5x داده شده است.ما می خواهیم بفهمیم معادله (f”+f=-5cos(2x درست را نگه میدارد.

یک فایل اسکریپت ایجاد کنید و کد زیر را در آن وارد کنید:

syms x

y =3*sin(x)+7*cos(5*x);% defining the function

lhs = diff(y,2)+y;%evaluting the lhs of the equation

rhs =-5*cos(2*x);%rhs of the equation

if(isequal(lhs,rhs))

disp(‘yes, the equation holds true’);

else

disp(‘no, the equation does not hold true’);

end

disp(‘value of lhs is: ‘), disp(lhs);

زمانی که شما فایل را ایجاد می کنید، نتیجه زیر نشان داده می شود:

معادله octave زیر  محاسبات بالا را نشان می دهد:

pkg load symbolic

symbols

x = sym(“x”) ;

y =3*sin(x)+7*cos(5*x);% defining the function

lhs = differentiate(y, x,2)+ y;%evaluting the lhs of the equation

rhs =-5*cos(2*x);%rhs of the equation

if(lhs == rhs)

disp(‘yes, the equation holds true’);

else

disp(‘no, the equation does not hold true’);

مشتقات نمایی، لگاریتمی و توابع مثلثاتی

جدول زیر مشتقات نمایی، لگاریتمی و توابع مثلثاتی را به طور معمولی استفاده می کند:

مثال

یک فایل اسکریپت  ایجاد کنید و کد زیر  را در آن تایپ نمایید:

syms x

y = exp(x)

diff(y)

y = x^9

diff(y)

y = sin(x)

diff(y)

y = tan(x)

diff(y)

y = cos(x)

diff(y)

y = loq(x)

diff(y)

y = logl0(x)

diff(y)

y = sin(x)^2

diff(y)

y = cos(3*x^2+2*x +1)

diff(y)

y = exp(x) / sin(x)

diff(y)

زمانی که فایل را ایجاد می کنید، نتیجه زیر نشان داده می شود:

تبدیلات-2

تبدیل laplace معکوس

متلب اجازه محاسبه تبدیل معکوس laplace را با استفاده از دستور ilplace می دهد.

برای مثال،

ilaplace(l/s^3)

متلب دستور بالا را اجرا خواهد کرد و نتیجه را نشان می دهد:

مثال

یک فایل اسکریپت ایجاد کنید و کد زیر را در آن تایپ نمایید:

syms s t a b w

ilaplace(l/s^7)

ilaplace(2/(w+s))

ilaplace(s/(s^2+4))

ilaplace(exp(-b*t))

ilaplace(w/(s^2+ w^2))

ilaplace(s/(s^2+ w^2))

زمانی که فایل را اجرا می کنید،نتیجه زیر نشان داده می شود:

 تبدیلات fourior

تبدیلات fourior یک تابع ریاضی از زمان است،(f(t،  برای یک تابع جدید، در برخی مواقع  به f اشاره می کند که  آرگومان فرکانس با واحدهایی از چرخش یا شعاع در ثانیه است.تابع جدیدبه عنوانتبدیل fourior  و یا طیف فرکانسی از تابع f شناخته می شود.

مثال

یک فایل اسکریپت ایجاد کنید و کد زیر را در آن تایپ نمایید:

syms x

f = exp(—2*x^2);%ourfunction

ezplot(f,[-2,2])% plot of ourfunction

ft = fourier(f) %fourier transform

زمانی که فایل را اجرا می کنید، متلب نمودار زیر را ترسیم می کند:

چندجمله ای در متلب

متلب چندجمله ای ها را به عنوان بردار سطری دربردارنده  ضرایب به منظور قدرت نزولی ارائه می دهد.

برای مثال معادله p(x)=x4+7x3-5x+9 می تواند به این صورت نشان داده شود:

p=[1 7 0 -5 9]

ارزیابی چندجمله ای ها

تابع polyval برای ارزیابی چندجمله ای با مقادیر مشخص استفاده شده است.برای مثال، برای مثال،برای ارزیابی چند جمله ای قبلیp ، با x=4، تایپ کنید:

p = [170-59] ;

po1yva1(p, 4)

متلب دستورات بالا را اجرا خواهد کرد و نتیجه زیر را نمایش می دهد:

همچنین متلب تابع  polyvalm را برای ارزیابی ماتریس چندجمله ای فراهم می کند. ماتریس چندجمله ای یک چندجمله ای با مقادیر ماتریس هاست.

برای مثال، اجازه دهید یا ماتریس مربعی x ایجاد کنیم و چندجمله ای p در x را ارزیابی کنیم:

p = [170-59] ;

x =[12-34;2-563;3102;5-798];

po1yva1m(p, x)

متلب دستورات بالا را اجرا می کند و نتیجه زیر را نشان می دهد:

جستجوی ریشه های چندجمله ای ها

تابع roots ریشه های چندجمله ای را محاسبه می کندو ضرایب چندجمله ای را برمی گراند.برای مثال:

p =[l70-59];

r = roots(p)

متلب دستورات بالا را اجرا خواهد کرد و نتیجه زیر را برمی گرداند:

تابع polyمعکوس تابع roots است و ضرایب چندجمله ای را برمی گرداند:

p2 = poly(r)

متلب دستورات بالا را اجرا می کند و نتیجه زیر را نشان می دهد:

منحنی چندجمله ای مناسب

تابع    polyfit ضرایبی از یک چندجمله ای را که فایل های یک مجموعه از داده هستند در مفهوم مربع حداقل پیدا می کند. اگر x و y  دو بردار دربردارنده داده x و y باشند که برای چندجمله ای مرتبه n مناسب است، در آن صورت ما چندجمله ای مناسب داده را می نویسیم:

p = polyfit (x, y,n)

مثال

یک فایل اسکریپت ایجاد کنید و کد زیر را در آن تایپ نمایید:

x = [123456] ; y =[5.543.1128290.7498.4978. 67] ;%data

p = polyfit(x,y,4)%get the polynomial

%compute the values of the polyfit estimate over a finer range,

%and plot the estimate over the real data values for comparison:

x2 =l:.l:6;

y2 = polyval(p,x2);

حل معادلات دیفرانسیل

متلب دستور dsolve را برای حل معادلات دیفرانسیل نمادین فراهم کرده است.

اساسی ترین شکل دستور dsolve برای پیدا کردن راه حل برای یک معادله است:

که eqn یک رشته متنی استفاده شده برای وارد کردن معادله است.

این یک راه حل نمادی با یک مجموعه از ثابت های اختیاری که برچسب های متلب c1,c2,و غیره است را باز می گرداند.

همچنین شما می توانید شرایط مرزی و اولیه خاصی برای مسئله، به عنوان  لیست کاما – جدا از هم معادله به صورت زیر :

برای اهداف استفاده از دستور dsolve، مشتق ها همراه با d نشان داده می شوند.برای مثال، معادله مانند f’(t)=-2*f+cost(t) به این صورت وارد می شود:

پیدا کردن حداقل و حداکثر از منحنی

اگر ما حداقل و حداکثر را از یک نمودار جستجو کنیم، ما به ط.ر اساسی بیش ترین و کمترین نقاط روی نمودار از یک تابع در محل خاص یا محدوده خاصی از مقادیر از متغیر نمادین را جستجو می کنیم.

برای تابع y=f(x) نقاط روی نمودار که در نمودار شیب صفر دارند نقاط ایستا نامیده می شوند. به عبارت دیگر نقاط ایستا f’(x)=0 هستند.

برای پیدا کردن نقاط ایستا از تابع دیفرانسیل ما ، نیاز به مجموعه مشتق معادله صفر و حل معادلات داریم.

مثال

اجازه دهید نقاط ایستا از تابع f(x)=2x3+3x2-12x+17 را در مراحل زیر بگیریم:

1.اول اجازه دهید  تابع را وارد کنیم و نمودار آن را رسم کنیم:

syms x

y =2*x^3+3*x^2-l2*x +17;% defining the function

ezplot(y)

متلب کد را اجرا می کند و طرح زیر را برمی گرداند:

اینجا کد معادل octave  برای مثال بالا است:

pkg load symbolic

symbols

x = sym )‘ x'( :

y =inline(“2*x^3 + 3*x^2 – l2*x + l7”);

ezplot(y)

print-deps gxaph.eps

2. فرض ما بر این است که تعدادی محل حداکثر و حداقل روی نمودار وجود دارد، بنابراین ما محل حداکثر و حداقل برای فاصله زمانی[-2,2] را بر روی نمودارنشان می دهیم.

syms x

y =2*x^3+3*x^2-l2*x +17;% defining the function

ezplot (y, [-2, 2])

متلب کد را اجرا خواهد کرد و طرح زیر را بر می گرداند:

جستجوی انتگرال معین برای استفاده در متلب

به این مفهوم که، انتگرال معین ا ساساً حدی از جمع است، ما انتگرال معین را برای پیدا کردن مناطقی مانند مناطق بین  منحنی و محور x و منطقه بین دو منحنی  استفاده می کنیم. انتگرال معین همچنین می تواند در دیگر محل ها مورد استفاده قرار گیرد، که مقادیر مورد نیاز  می تواند به عنوان حدی از جمع بیان شود.

دستور int  می تواند برای ادغام  عبور حدها بر روی انتگرالی که شما می خواهید محاسبه کنیداستفاه شود.

برای محاسبه

می نویسیم،

برای مثال، برای محاسبه  می نویسیم:

int(x,4,9)

متلب دستورات بالا را اجرا خواهد کرد و نتیجه زیر را بازمی گرداند:

در زیر معادله octave محاسبات بالا است:

pkg load symbolic

symbols

x = sym(“x”):

f = x;

c = [1, 0] :

integral = polyint(c);

a = polyval(integral,9)- polyval(integral,4);

display(‘area: ‘), disp(double(a));

راه حل متناوب می تواند با استفاده از تابعquad()داده شده به صورت زیر فراهم شود:

pkg load symbolic

symbols

f =inline(“x”);

[a, ierror, nfneval]= quad(f,4,9);

display(‘area: ‘), disp(double(a));

مثال1

اجازه دهید محل در میان قرار گرفته شده در بین محورxو منحنیy=x3-2x+5 و عرض x=1و x=2 را محاسبه نماییم.

محل مورد نیاز به این صورت داده شده است:

یک فایل اسکریپت ایجاد کنید و کد زیر را تایپ نمایید:

f = x^3-2*x +5;

a =int (f, 1, 2)

display(‘area: ‘), disp(double(a));

زمانی که شما فایل را ایجاد می کنید، نتیجه زیر نمایش می یابد:

معادلهoctaveمحاسبات بالا در زیر آمده است:

pkg load symbolic

symbols

x = sym(“x”):

f = x^3-2*x +5;

c =[l,0,-2, 5]

integral = polyint(c);

a = polyval(integral,2)- polyval(integral,l);

display(‘area: ‘), disp(double(a));

راه حل متناوب می تواند با استفاده از تابع quad() داده شده octaveزیر را فراهم کند:

pkg load symbolic

symbols

x =   ( “x” ) ;

f =inline(“x^3 – 2*x +5”);

[a, ierror, nfneval]= quad(f,l,2);

display(‘area: ‘), disp(double(a));

دیفرانسیل

متلب دستور diff  را برای محاسبه مشتقات نمادین فراهم کرده است. ساده ترین شکل، شما  می خواهید دیفرانسیل را با دستورdiff به عنوان آرگومان انتقال دهید.

برای مثال، اجازه دهید مشتقی از تابع f(t)=3t2+2t2 را محاسبه کنیم.

مثال

یک فایل  اسکریپت ایجاد کنید و  کد زیر را در آن وارد نمایید:

syms t

f =3*t^2+2*t^(-2);

diff (f)

در زیر معادلات octave محاسبات بالا است:زمانی که کد بالا  وارد و اجرا می شود، نتیجه زیر تولید می شود:

pkg load symbolic

symbols

t = sym)”t”(:

f =3*ta2+2*ta (—2(;

differentiate (f, t)

octave کد را اجرا می کند و نتیجه زیر را بر می گرداند:

تایید قوانین ابتدایی دیفرانسیل

اجازه دهید به طور خلاصه وضعیت معادلات مختلف یا قوانین برای دیفرانسیل از تابع و این مقررات را بررسی کنیم. به این منظور، ما f’(x) را برای  مشتق مرتبه اول و f”(x) را برای مشتق مرتبه دوم خواهیم نوشت.

در زیر قوانینی برای دیفرانسیل وجود دارد:

قانون 1

برای توابع f و g و اعداد حقیقی a و b مشتقی از تابع هستند:

h(x)=af(x)+bg(x)

با رابطه x داده شده است:

h’(x)=af’(x)+bg’(x)

قانون 2

وضعیت قوانین sum  و  substraction که اگر f و g دو تابع هستند،f’ و g’ به ترتیب مشتق های آن ها هستند.در آن صورت،

(f+g)’=f’+g’

(f-g)’=f’-g’

قانون 3

قانون product حالت هایی است که اگر f و g دو تابع هستند، f’ و g’ به ترتیب مشتق های آن ها هستند.در آن صورت،

(f.g)’ = f’.g + g’.f

قانون 4

قانون خارج قسمت حالت هایی است که اگر fو g دو تابع باشند، f’ و g’به ترتیب مشتق های آن ها هستند، در آن صورت،

(f/g)’=(f’.g – g’.f)/g2

قانون 5

قوانین  چندجمله ای یا نیروی اولیه حالت هایی است که، اگر y=f(x)=xn، در آن صورت f’=n.x(n-1  یک خروجی مستقیم  از قوانین مشتق از  ثابت صفر است، به عنوان مثال، اگر y=k، هر ثابت، در آن صورت f’=0 است.

قانون 6

قانون chain حالت هایی است که، مشتق تابع از تابع h(x)=f(g(x)) با رابطه x است، h’(x)=f’(g(x)).g’(x)

مثال

یک فایل اسکریپت ایجاد کنید و کد زیر را در آن تایپ نمایید:

syms x

syms t

f =(x +2)*(x^2+3)

dexl = diff(f)

f =(t^2+3)*(sqxt(t)+ t^3)

dex2 = diff(f)

f =(x^2-2*x +l)*(3*x^3-5*x^2+2)

dex3 = diff(f)

f =(2*x^2+3*x)/(x^3+l)

dex4 = diff(f)

f = (x^2+1) ^17

der5 = diff(f)

f = (t^3+3* t^2+5*t -9) ^ (-6)

der6 = diff(f)

زمانی که فایل را اجرا می کنید، متلب نتیجه زیر را نمایش می دهد:

simulink

simulink شبیه سازی و مدل مبتنی بر طراحی  برای سیستم های پویا و جایگذاری شده است، که با متلب یکپارچه شده است.simulink، همچنین با کار در ریاضی توسعه یافته، یک جریان داده ابزار زبان برنامه نویسی گرافیکی  برای  مدل سازی، شبیه سازی و تجزیه و تحلیل سیستم های پویا است است. این اساساً  یک بلوک گرافیکی ابزار رسم نمودار با  مجموعه ای قابل تنظیم از بلوک های کتابخانه است. این به شما اجازه می دهد الگوریتم ها را برای مدل و همچنین صادرات نتایج شبیه سازی  به متلب برای تجزیه و تحلیل بیشتر ترکیب کنید.

پشتیبانی های simulink:

• طراحی سطح سیستم
• شبیه سازی
• تولید کد خودکار
• تست و تایید سیستم های جاسازی شده

اینجا چندین محصول اضافی دیگر برای اعمال ریاضی و سخت افزار بخش سوم  و محصولات نرم افزاری که برای استفاده  با simulink  در دسترس هستند استفاده شده اند.

لیست زیر توصیف مختصری از آن ها ست.

• جریان وضعیت اجازه توسعه مکانیزم حالت و نمودار حالت را می دهد.
• رمزگذاری simulink اجازه می دهد به طور خودکار کد منبع c برای پیاده سازی زمان واقعی سیستم تولید شود.
• هدف xpc به همراه سیستم مبتنی بر x86 محیط شبیه سازی و تست simulink و مدل های جریان حالت در زمان واقعی  بر روی سیستم فیزیکی را فراهم می کند.
• رمزگذاری جاسازی اهداف جاسازی مخصوص را پشتیبانی می کند.
• رمزگذاری hdl اجازه تولید به طور خودکار vhdl و verilog قابل ترکیب را می دهد.
• simevents یک کتابخانه از بلوک های ساختمان گرافیکی برای مدل سازی سیستم های صف فرااهم می کند.