تبـدیل Z در متلب

از دیگر تبدیلات ریاضی است که همتای زمان گسسته تبدیل لاپلاس می باشد و در قالـب تعریـف زیـر شـناخته میشود :

این تعریف زمانی صادق است که f تابعی از n باشد و ما بخواهیم تبدیل Z آن تابعی ازz باشد که با دستور (ztrans(f این تبدیل با این متغیرهای پیش فرض انجام می گیرد . اگر f خود تابعی از z باشد و دستور را به صورت (ztrans(f بنویسیم، z در تعریف اولیه ی تبدیل ، جـایگزین n شـده و خروجی به جای z، به صورت پیش فرض تابعی از w خواهد بود . رابطه ی زیر این مطلب را بهتر بیان می کند

واضح است که اگر f جز n یا z تابع متغیر دیگری نیز باشد و ما بخواهیم بر اساس آن متغیر تبـدیل Z بگیریم،بـا اجـرای دستور به شکل (ztrans(f ، به نتیجه ای متفاوت با انتظارمان از اجرای تبدیل Z خواهیم رسید. در این حالت اگر به فرض f تابعی از k باشد و ما بخواهیم k جایگزین n در تعریف شود، دستور (ztrans(f,k,z ما را به مطلوبمان خواهد رساند و اگـر مثلاً بخواهیم همین تبدیل تابعی از w را منتج گردد، دستور (ztrans(f,k,w مطلوب خواهد بود . روابط زیر بیان ریاضی این دو شکل از تبدیل Z است :

ztrans(f,k,z)→

ztrans(f,k,w)→

اگر f تابعی از n باشد یا اینکه به دلیلی بخواهید تبدیل بر اساس n انجام شود ، اما نتیجه تابع پارامتری غیر از z باشد، دیگر نیازی نیست سه ورودی داشته باشید . بلکه ورودی دوم در تعریف اولیه خود جایگزین z خواهد شد. مثلاً اگر بخواهیم حاصل تبدیل تابع w باشد اجرای دستور(ztrans(f,w این کار را انجام خواهد داد. این دستور به زبان ریاضی عبارتست از :

مثال های زیر این روابط را روشن تر خواهد ساخت :

>> syms n k w z u

>> f=n^2;

>> ztrans(f)

ans= z*(z+1)/(z-1)^3

>> ztrans(f,u)

ans= u*(u+1)/(u-1)^3

>> f=z^2;

>> ztrans(f)

ans= w*(w+1)/(w-1)^3

>> f=(k+n)^2

>> ztrans(f)

ans= k^2*z/(z-1)+2*k*z/(z-1)^2+z*(z+1)/(z-1)^3

>> ztrans(f,k,z)

ans= z*(z+1)/(z-1)^3+2*n*z/(z-1)^2+n^2*z/(z-1)

>> ztrans(f,k,w)

ans= z*(w+1)/(w-1)^3+2*n*w/(w-1)^2+n^2*w/(w-1)

تابع iztrans نیز وجود دارد که با تعریف زیر معکوس تبدیل Z را بدست می آورد .

همانطور که از این تعریف بر می آید ، F تابعی از z و حاصل اعمال تبدیل معکوس Z روی آن تابع f می باشد که تابعی از n است. همانند موارد پیشین این متغیرها پیش فرض تعریف این تبدیل در MATLAB هستند که با همان شرایط مـشابه مـوارد قبلی، قابل جایگزنی با متغیرهای دیگر میباشند. در اینجا برای بیان موضوع تنها به چند مثال بسنده می کنیم:

>> syms z w n k

>> f = 2*z/(z-2)^2;

>> iztrans(f)