پروژه رایگان تابع چگالی احتمال (PDF) و تابع توزیع تجمعی (CDF)

مهندس عربعامری ۱۳ ام خرداد ماه

13ام خرداد ماه بدون نظر

متغیر تصادفی پیوسته

همان گونه که گفته شد اگر فضای نمونه پیوسته باشد متغیر تصادفی پیوسته خواهیم داشت. به موارد زیر به عنوان مثال می توان اشاره نمود:

• متغیر تصادفی نشان دهنده انتخاب یک نقطه در بازه [0,2]

• اندازه گیری طول یک وسیله

• …

تابع چگالی احتمال (PDF) متغیرهای پیوسته

در این قسمت قصد داریم برای متغیرهای پیوسته تابع چگالی احتمال تعریف کنیم. اولین و بدیهی ترین نکته ای که به ذهن می رسد این است که برای متغیرهای پیوسته هم PDF ای مثل حالت گسسته تعریف کنیم. یعنی fX(x)=P(X=x) .

اما توجه به دو مثال و یک نکته نشان می دهد که انجام این مسئله امکان پذیر نیست و در نتیجه باید تعریف دیگری ارائه کرد:

مثال) فرض کنید آزمایش تصادفی انتخاب یک عدد در بازه [0,2] باشد و متغیر تصادفی X نشان دهنده عدد انتخابی باشد. برای محاسبه احتمال انتخاب یک نقطه خاص مثلا x=0.5 داریم:

به ازای هر نقطه دلخواه دیگر هم همین مسئله برقرار است.

این مثال نشان می دهد زمانی که متغیر تصادفی پیوسته باشد احتمال نقطه ای صفر خواهد بود.

مثال) مسأله پرتاب یک تیر به یک صفحه دایره ای به شعاع واحد را در نظر بگیرید. فرض کنید X متغیر تصادفی نشان دهنده فاصله بین نقطه فرود تا مرکز دایره باشد. با فرض اینکه تیرها همیشه روی صفحه فرود آیند و احتمال فرود در هر نقطه مساوی باشد.

الف) محدوده X را مشخص کنید.

ب) P(X<a) را محاسبه کنید.

الف:

ب:

این مثال نشان داد که برای متغیر تصادفی پیوسته احتمال روی یک بازه قابل تعریف است.

با ترکیب دو مثال فوق به نکته زیر پی می بریم:

نکته : برای متغیرهای تصادفی پیوسته احتمال در یک نقطه معنی ندارد (صفر می شود) اما احتمال روی یک بازه (فاصله) معنی دارد. پس متوجه شدیم که PDF پیوسته را نمی توان مانند گسسته تعریف کرد و باید فکر دیگری نمود. قبلا گفتیم که PDF متغیرهای گسسته دارای 2 ویژگی زیر است:

یک ایده مناسب آن است که PDF پیوسته را طوری تعریف کنیم که دارای 2 ویژگی مشابه زیر باشد:

نکته دیگری که فهمیده ایم این است که برای متغیرهای پیوسته احتمال روی یک بازه قابل تعریف است. پس ایده دومی که به ذهن خطور می کند این است که PDF به دست آمده به گونه ای باشد که با استفاده از آن بتوان احتمال بازه ای را محاسبه کرد. مثلا خوب است انتگرال تابع PDF از نقطه a تا b برابر باشد.

با توجه به جمیع نکات و مثال های مطرح شده نتیجه می گیریم که مناسب استfX(x)، PDF متغیرهای تصادفی پیوسته دارای ویژگی های زیر باشد:

پس نحوه انتخاب PDF باید به صورتی باشد که شرایط فوق را ارضا کند. بر حسب چگونگی مسئله نحوه این انتخاب فرق می کند .

مثال) برای متغیر تصادفی X نشان دهنده نتیجه انتخاب یک عدد در بازه [0,2] PDF را پیدا کنید.

یعنی PDF ای دارای سه شرط فوق الذکر باشد.

با توجه به هم شانس بودن نتایج می توان نتیجه گرفت که احتمال هر دو بازه با طول یکسان باید مساوی باشد. این امر فقط وقتی اتفاق می افتد که تابع ما دارای مقدار ثابتی در [0,2] باشد (شکل زیر)

در نتیجه:

از طرفی دیگر طبق شرط 2 باید . در نتیجه:

در نتیجه:

به همین ترتیب می توان ثابت کرد درانتخاب یک نقطه در بازه [a,b] ، PDF به صورت زیر به دست می آید:

نکته: به متغیر تصادفی دارای این تابع چگالی اصطلاحا متغیر تصادفی یکنواخت با دو پارامتر a و b گفته می شود و آن را به صورت زیر نشان می دهیم:

مثال: تابع را در نظر بگیرید.

مقدار a را طوری تعیین کنید که( f(x یک PDF برای یک متغیر تصادفی پیوسته باشد.

یادآوری: از درس ریاضی می دانیم

ادامه مطلب....